Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên
quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc
chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân.
Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản
xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và
tính duy nhất nghiệm cho mô hình.
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008

Ngô Thị Việt Hằng









Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Chương 1

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Nội dung chính của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert
thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần
hoàn, đơn điệu cực đại. Đồng thời trình bày một số kết quả liên quan đến tính đơn
điệu của các toán tử đơn trị và đa trị trong không gian Hilbert.
1.1. Không gian Hilbert thực
Chúng ta bắt đầu từ không gian đơn giản nhất là không gian véc tơ tuyến tính trên
trường số thực. Đó là một tập hợp khác rỗng
X
mà trên đó có trang bị hai phép
toán: phép toán cộng hai véc tơ và phép toán nhân một số thực với một véc tơ:

1 2 1 2
, , ;
, , .
x x X x x X
x X x X R

   
   

 Nếu trên X được trang bị một tô pô

là một họ các tập con của X thỏa mãn các
tính chất:
1.
; X

 
;
2.
,A B A B
  
    
;
3.
 
tt
tT
A t T A


   

,
(
T
là tập chỉ số bất kỳ) thì X được gọi là không gian véc tơ tô pô và thường ký
hiệu là
 
,X

.
 Nếu trên X được trang bị một metric
( . )

với các tính chất:
1.
( , ) 0, , ; ( , ) 0x y x y X x y x y

    
;
2.
( , ) ( , ), ,x y y x x y X

  
;
3.
( , ) ( , ) ( , ), , ,x y x z y z x y z X
  
   

thì X được gọi là không gian metric.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
 Nếu trên X được trang bị một chuẩn
|| , ||
với các tính chất:
1.
|| || 0, ; || || 0 0x x X x x     
;
2.
|| || | ||| ||, ,x x x X R
  
   
;
3.
|| || || || || ||, ,x y x y x y X    

thì X được gọi là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực.
X
được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu: với mọi
,x y H
, xác định một số thực ký hiệu là
,xy
gọi
là tích vô hướng của
,x y X
, thỏa mãn các tính chất sau:
1.
,,x y y x
;
2.
, , ,x y z x z y z  
;
3.
, , ,x y x y R
  
  
;
4.
,0xx 
nếu
0x 
,
,0xx 
nếu
0x 
.
Mệnh đề 1. 1 (Xem [4]). Mọi không gian tiền Hilbert
X
là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn được xác định:
,,x x x x X  
.
Định nghĩa 1.2. Cho
X
là một không gian định chuẩn. Dãy
 
n
xX
được gọi là
dãy cơ bản trong
X
nếu :
,
lim 0
nm
mn
xx


.
Nếu trong X,, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là
0
nm
xx
kéo theo sự tồn tại
0
xX
sao cho
0n
xx
, thì
X
được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong
luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực.
Định nghĩa 1.4. Hai véc tơ
,x y H
được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí
hiệu là
xy
, nếu
,0xy 
.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
1.
0,x x X  
;
2.
x y y x  
;
3.
 
1 2 1 1 2 2
, , ,
n n n
x y y y x y y y
  
     
,
*
, , 1,2, ,
i
n N R i n

  
;
4.
,
nn
x y y y
khi
n 
thì
xy
.
Định nghĩa 1.5. Cho tập
MH
, phần bù trực giao của
M
, kí hiệu
M

, là tập
hợp sau:
 
:,M x H x y y M

    
.
Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz). Với mỗi véc tơ
a
cố định thuộc không gian Hilbert
H
, hệ thức:

 
,.f x a x
(1.1)
Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục
 
fx
trên không gian
H
, với

|| ||.fa
(1.2)
Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục
()fx
nào trên không gian Hilbert
H
cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ( 1.1 ), trong đó
a
là
một véc tơ của
H
thỏa mãn (1.2).
Chứng minh.
Phần thứ nhất của định lý, ta dễ chứng minh được vì
 
,f x a x
rõ ràng là một
phiếm hàm tuyến tính và do :

 
,.f x a x a x  
(1.3)

 
,.f a a a a a  
(1.4)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục
()fx
trên
không gian Hilbert
H
. Tập hợp
 
 
:0M x H f x  


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
rõ ràng là một không gian con đóng của
H
. Nếu
 
0M


thì dựa vào cách phân
tích
x y z
với
,y M z M


, ta thấy rằng
0z 
, cho nên
   
0f x f y
với
mọi
xH
, do đó
 
0,f x x
, nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với
0a 
. Vậy
chỉ còn phải xét trường hợp
 
0M


. Ta có
 
0
0fx 
, nên véc tơ :
 
0
0
00
0
,
fx
ax
xx

.
Với mọi
xH
,
 
 
0
0
fx
y x x M
fx
  

vì
   
 
 
 
0
0
0
fx
f y f x f x
fx
  
.
Mà
0
xM


, vậy
0
,0yx 
, tức là
 
 
 
 
0 0 0 0 0
00
, , . 0
f x f x
x x x x x x x
f x f x
   

hay:
 
 
0
0
00
,,
,
fx
f x x x a x
xx

.
Như vậy,
 
fx
có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất, vì nếu
 
,f x a x


thì
'
,0a a x
, nghĩa là
'
0aa
. Cuối cùng do (1.3) và (1.4)
nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh. 
Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các
phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
trên
H
và các véc tơ
aH
. Tương ứng đó là
một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm
f
với véc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
tơ
a
sinh ra nó thì ta có
*
HH
, nghĩa là : không gian Hilbert trùng với không
gian liên hợp của nó.
Cho
A
là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
H
. Với mỗi
yH
cố định ta xét phiếm hàm
:f H R
được xác định như sau:
 
,,f x Ax y x H
.
Dễ thấy
f
là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong
H
nên theo định lý 1.1 về dạng
tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất
*
yH
để
*
, , ,Ax y x y x H  
.

Định nghĩa 1.6. Cho
A
là một toán tử trong không gian Hilbert
H
, ánh xạ
*
:A H H
xác định như sau:
**
,y H A y y  

trong đó:
**
, , ,Ax y x A y x y

khi đó
*
A
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
A
.
Nhận xét 1.1. Toán tử liên hợp
*
A
nếu tồn tại là duy nhất.
1.2. Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.7. Tập
DH
được gọi là tập lồi nếu với mọi
12
,x x D
và mọi số
thực
01


ta đều có:
 
12
1x x D

  
.
Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa, tập

được xem là tập lồi .
Định nghĩa 1. 8. Tập
KH
được gọi là nón có đỉnh tại
0
nếu:
,0x K x K

     
.
KH
được gọi là nón có đỉnh tại
0
x
nếu
0
Kx
là nón có đỉnh tại
0
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Định nghĩa 1. 9. Nón
K
có đỉnh tại
0
x
được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi,
có nghĩa là:
, , , 0x y K x y K
   
      
.
Định nghĩa 1. 10. Cho
K 
là tập lồi trong
H
và điểm
xK
, nón pháp tuyến
của
K
tại
x
là một tập hợp được kí hiệu và xác định như sau:
 
 
* * * *
/ : , 0,N x K x H x x x x K     
.
Nhận xét 1. 3.
(a) Khi
 
Kx
thì
 
/N x K H
.
(b)
 
/N x K
là một nón lồi.
Cho tập
DH
là tập lồi khác rỗng và hàm
 
:f D R  
. Ta có các định
nghĩa về các dạng hàm lồi sau:
Định nghĩa 1.11. Hàm
f
được gọi là
(i) Lồi trên D nếu với mọi
0 1, ,x y D

   
, ta có :
 
 
     
11f x y f x f y
   
    
;
(ii) Lồi chặt trên
D
nếu với
 
0,1


và
,,x y D x y  
ta có:
 
 
     
11f x y f x f y
   
    
;
(iii) Lồi mạnh trên
D
nếu với
 
0,1 , ,x y D

   
, tồn tại
,0R


, ta có
 
 
       
2
1
1 1 1
2
f x y f x f y x y
      
       
.
Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa 1.11 ta dễ thấy (ii)

(i), (iii)

(i).
Định nghĩa 1.12. Hàm
f
được gọi là lõm trên
D
nếu
f
là hàm lồi trên
D
.
Định nghĩa 1.13. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, ký hiệu là
epif
, được định
nghĩa như sau :
   
 
,:epif x r D R f x r   
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Định nghĩa 1.14. Miền hữu hiệu(effective domain) của hàm
f
, ký hiệu là
domf
,
được định nghĩa như sau :
 
 
:domf x D f x   
.
Định nghĩa 1.15. Hàm
f
được gọi là chính thường ( proper), nếu
domf 
và
 
fx 
với mọi
xD
.
Định nghĩa 1.16. Hàm
f
được gọi là đóng nếu
epif
là tập đóng trong
HR
.
Định nghĩa 1.17. Với
 
fx 
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
nếu
với mọi
0


, tồn tại lân cận
xK
của
x
sao cho :
 
 
,f x f y y U

   

Với
()fx 
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới tại
x
nếu với mọi
0N 
, tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho :
 
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.18. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới trên
H
nếu
f
nửa liên tục
dưới tại mọi
xH
.
Định nghĩa 1.19.
Với
 
fx 
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
nếu với mọi
0


, tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho :
   
f x f y


,
yU
.
Với
()fx 
, hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
nếu với mọi
0N 
, tồn tại lân cận U của
x
sao cho :
 
f y N
,
yU
.
Định nghĩa 1.20. Hàm
f
được gọi là nửa liên tục trên trên
H
nếu
f
nửa liên tục
trên tại mọi
xH
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Nhận xét 1.5. Hàm
f
liên tục tại
xH
nếu và chỉ nếu
f
nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại
x
.
Định lí 1.2 (Xem [1]). Giả sử
 
:f H R  
là hàm lồi chính thường trên
H
.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i)
f
bị chặn trên trong một lân cận của
xH
;
(ii)
f
liên tục tại
xH
;
(iii)
 
int epif 
;
(iv)
 
int domf 
và
f
liên tục trên
 
int domf 
.
Bây giờ, ta giả sử hàm
 
:f H R  
.
Định nghĩa 1.21. Cho hàm
f
xác định trên một lân cận của
xH
, hàm
f
được
gọi là khả vi tại
x
, nếu tồn tại
*
xH
sao cho:
   
*
,
lim 0
zx
f z f x x z x
zx

  


.
Hàm
f
được gọi là hàm khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm
xH
.
Nhận xét 1.6. Điểm
*
x
nếu tồn tại sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của hàm f
tại
x
, thường kí hiệu là
 
fx
hoặc
 
fx

.
Nhận xét 1.9. Giả sử
 
:
n
f R R  
là hàm lồi, chính thường và
x domf
.
Nếu
f
khả vi tại
x
thì với mọi
n
yR
,
0y 
, ta có :
     
0
,
lim 0
f x y f x f x y
y




   


và đạo hàm tại
x
theo phương
y
là :
     
 
0
,
lim ,
f x y f x f x y
f x y




   


,
nên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
   
,,
0
f x y f x y
y



.
Suy ra
( , ) ( ),f x y f x y


với mọi
y
. Lấy
 
1,2, ,
i
y e i n
là vectơ đơn vị
thứ
i
của
n
R
, ta có :
 
 
 
,/
i
i
f x e f x x   
,
1,2, ,in
.
Vậy
 
 
 
1
,/
n
ii
i
f x y y f x x


  

.
Từ đó ta có hai mệnh đề sau :
Mệnh đề 1.2 (Xem [2]). Giả sử
 
:
n
f R R  
là hàm lồi , chính thường và
x domf
. Hàm
f
khả vi tại
x
khi và chỉ khi tồn tại
* n
xR
sao cho
 
'*
,,f x y x y
với mọi
y
,
 
intx domf
và
 
*
f x x
.
Mệnh đề 1.3 (Xem [2]). Cho
 
:
n
f R R  
là hàm khả vi và
n
DR
. Khi đó
, ba điều kiện sau là tương đương:
(a)

là hệ số lồi của
f
trên D;
(b)
     
2
'
,
2
f y f x f x y x x y

    
;
(c)
   
2
,
2
f y f x y x x y


   
.
Định nghĩa 1.22. Giả sử
f
là hàm lồi trên
H
. Phiếm hàm
**
xH
được gọi là
dưới gradient (subgradient) của hàm
f
tại
xH
nếu
   
*
,f x f x x x x  
,
xH
.
Định nghĩa 1.23. Tập tất cả dưới gradient của
f
tại
x
được gọi là dưới vi phân
(subdifferential) của
f
tại
x
, ký hiệu là
 
fx
, tức là :
     
 
* * *
: , ,f x x H f x f x x x x x H       
.

Xem chi tiết: Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế