tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian banach

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian banach": http://123doc.vn/document/1052938-tinh-on-dinh-luy-thua-cua-ho-tien-hoa-cac-toan-tu-tuyen-tinh-bi-chan-tren-khong-gian-banach.htm

Chương 2 nhằm nghiên cứu và trình bày về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa
các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach, gồm các mục cụ thể sau:
Mục 2.1: Trích từ bài báo [1], nghiên cứu và trình bày về định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm tiến
hóa các hàm tuần hoàn xác định trên nửa đường thẳng.
Cho X là một không gian Banach phức.
Chúng ta cũng sẽ chứng minh nửa nhóm tiến hóa




: 0
T T t t
 
trên


,
o
APP X


là liên
tục mạnh. Sau đó chúng ta chứng minh một vài tính chất tổng quát của nửa nhóm tiến hóa và
chỉ ra một số ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức.

Mục 2.2: Trích từ bài báo [2], nghiên cứu và trình bày về tính ổn định lũy thừa của họ tiến hóa
q-tuần hoàn các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. Trong đó, chúng ta chứng
minh rằng một họ tiến hóa q-tuần hoàn




, : 0
U U t s t s
  
của các toán tử tuyến tính
bị chặn là ổn định lũy thừa đều nếu và chỉ nếu
       
0
0
sup , , , , ,
t
i
q
t
e U t f d M f f P X

    



      

 

(f là hàm liên tục và q-tuần hoàn trên


)
Mục 2.3: Trích từ bài báo [3], nghiên cứu và trình bày về các đặc trưng tích phân cho tính ổn
định lũy thừa của các nửa nhóm và các họ tiến hóa trên không gian Banach. Cụ thể, cho




,
t s
U U t s
 

0
là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa và liên tục mạnh trên X; J là hàm không
âm xác định trên nón dương tất cả các hàm bị chặn địa phương nhận giá trị thực trên


: ;

 
0

. Khi đó chúng ta chứng minh họ
U
là ổn định lũy thừa đều nếu với mọi
x X

,
ta có:




sup .,
s
J U s s x

  
0


Phần cuối cùng là kết quả thu được trong luận văn. Sau cùng là phần tài liệu tham
khảo.
Trong luận văn, một số kết quả sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định lí hoặc bổ đề
không chứng minh.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Kết quả về tính ổn định lũy thừa đều của họ tiến hóa có liên quan đến tính ổn định tiệm
cận đều của nghiệm bài toán Cauchy tuyến tính chỉnh và không tự sinh:






 
' ,
,
u t A t u t t s
u s x x X

  


 


0

Trong trường hợp tự sinh, chẳng hạn khi




,
U t s T t s
 
với




t
T t

0
là nửa nhóm
tiến hóa liên tục mạnh thì ta nhận được các định lí của Datko, Littman, Neerven, Pazy và
Rolewicz: định lí Datko-Pazy, …
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ



1.1 MỘT SỐ KÝ HIỆU

Cho X là không gian Banach phức và L(X) là đại số Banach của tất cả các toán tử tuyến
tính trên X,
( )
A L X

.
Các ký hiệu:


là tập hợp các số thực không âm.
.
là chuẩn của vectơ và toán tử.


A

là phổ của toán tử tuyến tính A trên X.




: \
A C A
 

là tập giải của A.
Bán kính phổ của A là






: sup :
r A A
  
 
.
Biên của phổ:








: sup Re :
s A A
  
 
.
BUC( I, X),


,I


 
là không gian Banach tất cả các hàm liên tục đều, bị chặn
trên I và nhận giá trị trong X với chuẩn sup.
AP( I, X) là bao đóng tuyến tính trong BUC( I, X), là tập gồm các hàm:
: , ,
i t
t e x I X x X


  
 

BUC(

, X) là không gian tất cả các hàm liên tục đều trên đường thẳng thực, bị
chặn và lấy giá trị trong X cùng với chuẩn sup.


,
o
C X

là không gian con của BUC(

, X) gồm tất cả các hàm f thỏa mãn:


lim 0
t
f t


.
AP(

, X) là không gian gồm hầu hết tất cả các hàm tuần hoàn, đó là không gian
con đóng bé nhất của BUC(

, X) bao gồm các hàm có dạng:
. , ,
i t
t e x x X


 
 
.


,
o
AAP X


là không gian tất cả các hàm h sao cho: h(0) = 0 và tồn tại


,
o
f C X



,


,
g AP X



sao cho: h = f + g.


,
oo
C X


là không gian con của


,
o
C X


bao gồm tất cả các hàm f sao cho
f(0) = 0.
P
q
( I, X) là tập gồm tất cả các hàm liên tục
:
f I X

sao cho:




f t q f t
 
với bất kỳ
t I

và một q nào đó, q > 0.


,
o
q
P X


là không gian tất cả các hàm f trên


, nhận giá trị trong X, q-tuần
hoàn sao cho: f(0) = 0.
1.2 KHÁI NIỆM HỌ TIẾN HÓA

1.2.1 Định nghĩa 1:
Cho q > 0 và




2
, : 0
t s t s
    

.
Một ánh xạ


:
U L X
 
được gọi là một họ tiến hóa của các toán tử tuyến tính
bị chặn trên X nếu:








, , , , 0
i U t s U t r U r s t s r
    
.




,
ii U t t id

(id là ánh xạ đồng nhất trên X).








, , , :
iii x X t s U t s x L X
   

liên tục.
Nếu họ tiến hóa U thỏa mãn thêm điều kiện:






, , , 0
iv U t q s q U t s t s
     
.
thì U được gọi là họ tiến hóa q-tuần hoàn.

1.2.2 Định nghĩa 2:
Một họ tiến hóa U được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại



và
0
M


sao
cho:




, , 0
t s
U t s M e t s



   
(1)
Một họ tiến hóa U được gọi là ổn định lũy thừa nếu (1) thỏa với một số âm

nào
đó.

1.2.3 Các kết quả thừa nhận:

1.2.3.1 Kết quả 1:
Nếu họ tiến hóa U thỏa điều kiện:




, ,0 , 0
U t s U t s t s
    

thì họ






,0 : 0
T U t t L X
  
là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.

1.2.3.2 Kết quả 2:
Cho




0
t
T T t


là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X và
tồn tại


1;
p
 
sao cho với mỗi
x X

có:
   
0
,
p
T t x dt M p x

  

(2)
thì T ổn định lũy thừa.

1.2.3.3 Kết quả 3:
Cho




0
t
T T t


là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X.
Nếu tồn tại hàm liên tục không giảm




: 0; 0;

  
sao cho


0
t


với
mọi t > 0 và nếu
 
 
 
0
: ,
T t x dt M x x X



    

(3)
thì nửa nhóm T ổn định lũy thừa.

1.2.3.4 Kết quả 4:
Nửa nhóm liên tục mạnh T trên X là ổn định lũy thừa đều nếu tồn tại một
không gian Banach E trên


0;

 

có tính chất
 
0;
lim 1
t
t
E

 
sao cho


. ,
T x E x X
  
.

1.2.3.5 Kết quả 5:
Cho U =




, :U t s t s 

là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa và liên
tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.
Với mỗi
0
t

và


,
o
F C X


, hàm








( ) : , :
s T t F s U s s t F s t X
   
 
thuộc


,
o
C X

và họ




: 0
T T t t
 
là nửa nhóm liên tục mạnh trên


,
o
C X

.

1.2.3.6 Kết quả 6:
Nếu U =




, :U t s t s 

là một họ tiến hóa q-tuần hoàn,
0
t

và


,
G AP X


thì hàm








( ) : , :
s S t G s U s s t G s t X
   
 

thuộc


,
AP X

và họ một tham số




: 0
S S t t
 
là nửa nhóm liên tục
mạnh trên


,
AP X

.

1.2.3.7 Kết quả 7:
Cho




0
t
T T t


là nửa nhóm liên tục mạnh trên X và A
T
là phần tử sinh
vô cùng bé của nó.
Nếu
 
0
0
sup , ,
t
i
t
e T d x X

  

     


thì






: Re 0
T
A C z z


   

.
Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN
HÓA


2.1 ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ PHỔ CHO NỬA NHÓM TIẾN HÓA
CÁC HÀM TUẦN HOÀN XÁC ĐỊNH TRÊN NỬA ĐƯỜNG
THẲNG

2.1.1 Bổ đề 1:
Cho




: 0
T T t t
 
là nửa nhóm liên tục mạnh và


:
A D A X X
 
là hàm
sinh vô cùng bé của nó. Nếu T là ổn định đều, nghĩa là tồn tại một hằng số dương M sao
cho:


0
sup
t
T t M

  

thì:
 


2
2 2 2
4 ,
A x M A x x x D A
  
. (4)

Chứng minh:
Xem trong [4].


2.1.2 Bổ đề 2:
Cho nửa nhóm




: 0
T T t t
 
được mô tả như sau:
Với mỗi


,
o
h APP X



và mọi
0
t

, ta định nghĩa
   




, ,
0 , 0
U s s t h s t s t
T t h s
s t

  

 


 
 


(5)
Khi đó nửa nhóm




: 0
T T t t
 
xác định trên
( , )
o
AAP X


và liên tục mạnh.
Nửa nhóm này được gọi là nửa nhóm tiến hóa liên hợp với U trong không gian
( , )
o
AAP X


.

Chứng minh:
Giả sử h = f + g với


,
o
f C X



và
( , )
g AP X



sao cho: h(0) = 0.
Lấy


,
o
F C X


và
( , )
G AP X


sao cho F(s) = f(s) và G(s) = g(s),
0
s
 
.
Với mỗi
0
t

ta có:












[0, ) [ , ) [0, )
1 1 1
t t
T t h S t G T t f S t G
 
  
.
với




0
t
S t

là nửa nhóm tiến hóa trên AP(

, X) và 1
J
là hàm đặc trưng trên khoảng J.
Đặt:


   
1 [0, )
1 [ , ) [0, )
1
1 1
t t
g S t G
f T t f S t G



 

thì


1
,
o
f C X



và
1
( , )
g AP X



,




1 1
0 0
g f
 
.
Vì thế T(t) được xác định trên
( , )
o
AAP X


với mọi
0
t

.
Hơn nữa,
( , )
o
h AAP X

 

ta có:
   


 
 
 


 
0 0,
sup sup sup
s s t s t
T t h h T t h h s T t h h s
  
    








 






 
 
0,
0,
sup sup
sup
s t s t
s t
S t G G s T t F F s
h s
 

   





 


 
 
 
0
, ,
0,
sup
AP X C X
s t
S t G G T t F F
h s

   

 

Vậy


AAP ( , X )
0 0
o
T t h h kh i t

  

, tức là nửa nhóm T liên tục
mạnh.

2.1.3 Bổ đề 3:
Cho




, :U U t s t s
  
là một họ tiến hóa q-tuần hoàn của các toán tử tuyến
tính bị chặn trên X,




: 0
T T t t
 
là nửa nhóm tiến hóa liên hợp với U trên không gian
( , )
o
AAP X


, được cho trong (5) và (A, D(A)) là phần tử sinh vô cùng bé của nó. Cho
, ( , )
o
u f AAP X



.Hai phát biểu sau là tương đương:


     
0
1). ,
2). , , 0
t
u D A Au f
u t U t s f s ds t
  
  



Chứng minh:
1) 2)

: Giả sử Au = – f.
Với mỗi
0
t

, ta có:
   
0
t
T t u u T Aud
 
 


Do đó:
   
 
     
0
t
u t T t u t T Aud t
 
 
 
 
 
