-152-
- Vật là một tấm phẳng tròn đồng chất
Gọi bán kính và khối lợng của tấm là R và M. Ta có thể tính mô men
quán tính đối với trục Cz ký hiệu là J
cz
và mô men quán tính đối với trục Cx hay
Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là J
x
, J
y
.
Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là r
k
.
Bề rộng của mỗi vành thứ k là dr
k
. Khối lợng của lớp vành thứ k là :
m
k
= .2.r
k
.dr
k
Trong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích = .
R
M
2
Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với
trục Cz viết đợc.
J
k
cz
= m
k
r
k
2
= 2.r
k
3
dr
k
Mô men quán tính của cả tấm đối với tục Cz viết đợc:
J
cz
=
==
=
n
1k
k
3
k
n
1k
k
cz
drr2J
hay: J
cz
= .R
2
1
drr2
4
R
o
k
3
k
=
Cuối cùng ta có:
J
cz
=
2
MR
2
1
(12-11)
Để tính J
cz
và J
cy
ta có nhận xét mọi điểm của tấm có z
x
= 0, vì thế theo
(12-5) viết đợc:
J
cx
=
==
=+
n
1k
2
kk
n
1k
2
k
2
kk
;ym)zy(m
J
cy
=
==
=+
n
1k
2
kk
n
1k
2
k
2
kk
;xm)zx(m
-153-
J
cz
= .)yx(m
n
1k
2
k
2
kk
=
+
Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này:
J
cz
= J
cx
+ J
cy
.
Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn
toàn nh nhau. Ta có:
J
cx
= J
cy
= J
cz
/2= MR
2
/4. (12-11)
Công thức (10-11) cũng có thể tính mô men quán tính cho vật là một trục
tròn đồng chất đối với trục của nó.
12.1.2.4. Mô men quán tính đối với các trục song song.
-Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính của một vật đối với một trục z
1
nào đó bằng mô men quán tính của nó đối với trục z song song với trục z
1
đi qua
khối tâm của vật cộng với tích khối lợng của vật với bình phơng khoảng cách
giữa hai trục.
J
z1
= J
cz
+ Md
2
(12-12)
Chứng minh:
x
z'
z
k
d
d'
k
d
k
B
M
k
y
C
y
k
x
k
Theo định nghĩa J
z1
=
(a)
2
kk
'dm
Kẻ trục cz song song với z
1
và đi qua khối
tâm c (hình 12-6)
Ta có:
2
k
'd = d
k
2
+ d
2
- 2d
k
dcos
k
.
Gọi toạ độ của điểm M
k
là x
k
, y
k
, z
k
.
x
k
= d
k
cos
k
suy ra:
d'
k
2
= d
k
2
+ d
2
- 2dx
k
H
ình 12.
6
Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc:
J
z1
=
m
k
(d
k
2
+ d
2
- 2x
k
d) =
m
k
d
k
2
+
m
k
d
2
- 2
m
k
dx
k
),
-154-
trong đó:
m
k
d
k
2
= J
cz
;
m
k
d
2
= Md
2
còn
m
k
dx
k
= d
m
k
x
k
= dMx
C
Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên x
C
=0.
Do đó:
m
k
dx
k
= 0 Cuối cùng đợc: J
z1
= J
cz
+ Md
2
.
Định lý đã đợc chứng minh.
12.2. Định lý động lợng và định lý chuyển động của
khối tâm
12.2.1. Định lý động lợng
12.2.1.1. Động lợng của chất điểm và của hệ
Động lợng của chất điểm là một đại lợng véc tơ ký hiệu là
k
r
bằng tích
giữa khối lợng và véc tơ vận tốc của chất điểm.
k
r
= m . (12-14)
v
r
Động lợng của hệ là đại lợng véc tơ ký hiệu
K
r
bằng tổng hình học
động lợng các chất điểm trong hệ.
K
r
=
=
n
1k
k
r
k
= m
=
n
1k
v
v
r
k
. (12-15)
Đơn vị đo động lợng là kgm/s
Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc
khối tâm của hệ.
Từ (12-1) suy ra:
m
k
r
r
k
= M
r
r
c
.
Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc:
m
k
v
r
k
= M
v
r
o
.
Động lợng của hệ bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc khối tâm
của hệ.
-155-
12.2.1.2. Xung lợng của lực (xung lực)
Lực tác dụng trong một khoảng thời gian nhỏ bé dt thì đại lợng véc tơ đo
bằng tích giữa lực với khoảng thời gian vô cùng bé đó là xung lợng phần tử của
lực
ký hiệu là dF
r
s
r
= .dt. (12-17) F
r
Nếu lực
F
r
tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ t
o
đến t thì đại
lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó
gọi là xung lợng của lực trong khoảng thời gian từ tF
r
o
đến t và ký hiệu là
s
r
.
s
r
= (12-18)
=
t
to
t
to
dtFsd
r
r
Theo (10-18) nếu lực
= const thì: F
r
s
r
= . F
r
ở đây = t - t
o
12.2.1.3. Định lỹ động lợng
Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng của chất điểm bằng hợp
lực các lực tác dụng lên chất điểm.
)vm(
dt
d
r
= (12-19)
=
n
1i
i
F
r
Chứng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với vận tốc v
dới tác dụng của hệ lực (
F
r
1
, F
r
2
, F
r
n
). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm:
m
= W
r
=
n
1i
i
F
r
Thay
= W
r
dt
vd
r
vào biểu thức trên sẽ đợc:
m
= W
r
=
=
n
1i
i
F)vm(
dt
d
r
r
Định lý đợc chứng minh.
Biểu thức (12-19) thực chất là phơng trình cơ bản viết dới dạng động
lợng cho chất điểm.
-156-
Định lý 12.2: Biến thiên động lợng của chất điểm trong khoảng thời gian
từ t
o
đến t
1
bằng tổng hình học xung lợng của các lực tác dụng lên chất điểm
trong khoảng thời gian đó.
m
v
r
1
- m
v
r
o
=
==
=
n
1k
k
n
1k
1t
to
k
SdtF
r
r
(12-20)
Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra:
d(m
) =
v
r
=
n
1k
1t
to
k
dtF
r
Tích phân hai vế phơng trình này tơng ứng với các cận tại t
o
và t
1
sẽ có:
==
==
n
1k
1t
to
1t
to
n
1k
k
1mv
mvo
;dtFdtF)vm(d
r
r
r
m
v
r
1
- m
v
r
o
=
=
n
1k
k
S
r
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ
chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ.
=
=
N
1k
ke
F
d
t
Kd
r
r
(12-21)
Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội
lực đặt lên chất điểm thứ k là
F
r
ke
và F
r
ki
.
Phơng trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm đó là:
m
k
( = )W
k
r
F
r
ke
+ F
r
ki
(a)
Viết cho N chất điểm của hệ ta sẽ có N phơng trình (a) nghĩa là k = 1 N
Cộng vế với vế của N phơng trình trên với nhau ta sẽ đợc:
===
+=
N
1k
ki
N
1k
ke
N
1k
kk
FFWm
r
rr
Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn,
-157-
cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác
dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không.
Ta có:
F
r
ki
= 0
Còn lại:
==
=
N
1k
ke
N
1k
kk
FWm
rr
Thay
,K
d
t
d
vm
d
t
vd
mWm
N
1k
kk
N
1k
k
k
N
1k
kk
v
r
r
r
===
===
Ta có:
=
=
N
1k
ke
FK
dt
d
r
v
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ t
o
đến t
1
bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong
khoảng thời gian đó.
k
r
1
-
k
r
0
= (12-22)
=
N
1k
ke
S
r
Chứng minh:
Từ phơng trình (12-10) suy ra:
d
k
r
= dtF
N
1k
ke
=
r
Tích phân hai vế biểu thức này tơng ứng với các cận tại thời điểm đầu và
cuối sẽ đợc:
==
1t
to
ke
1t
to
ke
1k
ko
dtFdtFdk
r
r
;
k
r
1
-
k
r
o
=
s
r
ke
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu
-158-
thức véc tơ, nếu chiếu các biểu thức này lên ba trục toạ độ oxyz ta sẽ đợc các
biểu thức hình chiếu tơng ứng phản ánh sự biến thiên động lợng của chất điểm
và hệ theo hớng các trục toạ độ.
Định luật bảo toàn động lợng của hệ
Từ biểu thức (12-21) suy ra:
Khi
F
r
ke
= 0 thì K = const.
Khi
X
k
= 0 thì K
x
= const.
Nghĩa là khi véc tơ chính của ngoại lực hoặc tổng hình chiếu của các
ngoại lực lên một trục nào đó bằng không thì động lợng của hệ hoặc hình chiếu
động lợng của hệ lên trục đó bảo toàn.
Cuối cùng chú ý rằng trong các biểu thức không có nội lực điều này chứng
tỏ nội lực không có tác dụng làm thay đổi động lợng của một hệ.
Thí dụ 12-1: Một hạt ngũ cốc có trọng lợng P trợt trong rãnh nằm
nghiêng một góc so với phơng ngang. Biết hệ số ma sát giữa các hạt và rãnh
là f, vận tốc ban đầu của hạt là v
o
. Tính xem sau bao lâu thì vận tốc hạt tăng lên
gấp đôi. (hình 12-7)
Bài giải
Xem hạt nh một chất điểm. Lực tác dụng
lên hạt gồm trọng lợng P, lực ma sát F
ms
và
phản lực pháp tuyến N.
x
ms
F
r
N
r
P
r
Viết biểu thức hình chiếu lên trục ox của
định lý động lợng ta có:
H
ình 12.7
m
(
)
==
t
0
msio1
dtFsinPxxmx
&&
;vx
1
=
&
F
;vx
o0
=
&
ms
= P.cos.f ta có:
mv-mv
o
= (Psin-fPcos)t.
Khi v = 2v
o
thì thời gian cần thiết là:
-159-
t =
)cosf(sing
v
cosfmgsinmg
mv
oo
=
.
Thí dụ 12-2: Nớc chảy ra từ một vòi với vận tốc u = 10m/s và đập thẳng
góc vào một tờng chắn (hình 10-8). Đờng kính miệng vòi d = 4cm. Xác định
áp lực của nớc lên tờng. Lấy khối lợng
riêng của nớc là = 1000kg/m
3
H
ình 12.8
R x
b
1
b
1
d
d
c
1
c
1
c
c
ut
1
a
1
a
1
a
a
Bài giải:
Xét chuyển động của khối nớc aabc
(xem hình vẽ 12.8). Ngoại lực tác dụng lên
hệ gồm:
Trọng lợng P, hợp lực của áp lực tại
mặt cắt của khối nớc và áp lực do phản lực
của tờng lên nớc.
Theo biểu thức (12-22) ta có:
k
1x
- k
ox
=
S
kk
(a)
Giả thiết sau thời gian t
1
khối nớc chuyển đến vị trí a
1
a
1
b
1
c
1
. Từ hình vẽ
ta thấy phần nớc có ảnh hởng đến sự biến đổi động lợng của khối nớc lên
phơng x là phần nằm trong đoạn aa
1
. Vì vậy có thể thấy:
k
1x
- k
ox
= -mu
ở đây m là khối lợng của phần nớc nằm trong đoạn aa
1
m =
1
2
ut
4
d
g
Còn
S
x
là xung lực của các lực tác dụng lên khối nớc theo phơng x.
Nếu gọi các hợp lực theo phơng x này là R
x
ta sẽ có:
S
kx
= R
x
t
1
= Rt
1
.
Thay vào biểu thức (a) các kết quả tìm đợc sẽ có:
-160-
mu = Rt
1
R =
Nh vậy ta tìm đợc áp lực của nớc lên tờng cũng bằng R = 12,8kN có
phơng vuông góc với tờng theo chiều hớng vào mặt tờng.
12.2.2. Định lý chuyển động của khối tâm
-
Định lý 12.5:Khối tâm của hệ chuyển động nh một chất điểm mang
khối lợng của cả hệ dới tác dụng của lực bằng véc tơ chính của hệ các ngoại
lực tác dụng lên hệ.
M
(12-23)
=
=
n
1i
keC
FW
r
Chứng minh: Xét cơ hệ N chất điểm có khối lợng là m
1
, m
2
, m
N
chuyển
động dới tác dụng của hệ ngoại lực
F
r
1e
, F
r
2e
, F
r
Ne
và hệ các nội lực F
r
1i
, F
r
2i
,
F
r
Ni
. ở đây F
r
ke
và F
r
ki
là hợp lực của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm
thứ k.
Phơng trình chuyển động viết cho hệ là:
=
n
1k
m
k
==
+=
n
1k
ki
n
1k
ke
FFW
rrr
(a)
Mặt khác từ công thức xác định khối tâm của hệ ta có:
=
n
1k
m
k
k
r
r
= M
r
r
C
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế đợc:
=
n
1k
m
k
dt
rd
M
dt
rd
C
2
2
=
r
hay m
=
n
1k
k
W
r
k
= M W
r
C
Thay vào biểu thức (a) ở trên và lu ý rằng
=
n
1k
F
r
ki
= 0 ta có:
M
W
r
C
=
=
n
1k
F
r
ke
.
-161-
Định lý đợc chứng minh.
Từ phơng trình véc tơ (12-21) khi chiếu lên các trục toạ độ oxyz ta đợc
phơng trình vi phân chuyển động của khối tâm viêt dới dạng sau:
M
=
2
C
2
dt
Xd
=
n
1k
X
k
; M
2
C
2
dt
Yd
= Y
=
n
1k
k
; M
2
C
2
dt
Zd
= Z
=
n
1k
k
. (12-22)
- Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm:
Từ biểu thức (12-21) suy ra:
Nếu
=
n
1k
F
r
k
= 0 thì W
c
= 0 và v
c
= const.
Nghĩa là: nếu véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không
thì chuyển động khối tâm của hệ đợc bảo toàn. Đây là định luật bảo toàn
chuyển động của khối tâm.
Tơng tự từ biểu thức (12-20) suy ra:
Nếu
X
=
n
1k
k
= 0 thì W
x
=0 và v
x
= const.
Nghĩa là nếu tổng hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên hệ lên một trục x
nào đó bằng không thì chuyển động của khối tâm theo trục x đó đợc bảo toàn.
Đây là định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm theo một trục.
Chú ý trong các định lý về chuyển động của khối tâm không đề cập đến
nội lực vì vậy có thể kết luận nội lực không làm thay đổi chuyển động của khối
tâm.
Sau đây là một vài ví dụ vận dụng định lý chuyển độngcủa khối tâm và
định luật bảo toàn chuyển động của khối lợng.
Thí dụ 12-3:
Trọng tâm phần quay của động cơ điện đặt lệch tâm so với trục quay A
một đoạn AB =a. Trọng lợng của phần quay là P, trọng lợng của vỏ động cơ
(phần không quay) là Q. (hình 12-9)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét